Las simetrías

Las simetrías y la naturaleza.

La simetría la podemos observar en la naturaleza. Entonces se revela en su aspecto tridimensional. La simetría plana es una abstracción en dos dimensiones de aquellas que podemos ver en el tres dimensiones en el entorno natural cotidiano.

Entendemos la simetría en su acepción de forma iguales a iguales distancias de un eje o un punto; manteniéndose una regularidad y un orden en los elementos.

Las simetrías esenciales las vemos en el mundo físico por medio de la proyección de la luz sobre planos.

Jugando con la proximidad o la lejanía del foco de la luz y el paralelismo u oblicuidad del plano original y el plano transformado, obtendremos diversos casos de simetría.

La afinidad y la simetría.

Una fuente de iluminación natural como por ejemplo el sol, cuando atraviesa su luz una ventana vertical vemos como se transforma en el suelo en manchas de luz diversas. Estas manchas serían simétricas respecto a las originales de la ventana en una hora del día determinada. 

En geometría le damos a este fenómeno un nombre más técnico llamado afinidad u homología afín. A partir de un centro impropio (en el infinito), la radiación atraviesa un plano origen y se muda en un plano transformado que tiene distinta orientación. Ambos planos original y transformado se une en una recta o eje propio (cercano) que llamamos eje de afinidad, que es el eje de simetría. 

Cuando la radiación es perpendicular al plano bisector que forman ambos planos (original y transformado) se produce una simetría, que denominamos simetría por reflexión, simetría axial y simetría bilateral.

Este tipo de simetría también la podemos observar en los reflejos de los charcos, estanques y lagos cuando están las aguas tranquilas.

La homotecia y la simetría.

Cuando una fuente de luz puntual como una vela, atraviesa una forma contenida en un  plano origen  se proyecta esta forma en un plano transformado. La forma transformada es semejante pero a una escala mayor de la original. 

Podemos realizar un dibujo tridimensional del fenómeno y abstraer la tercera dimensión para verlo en el plano bidimensional.

En geometría a este proceso le llamamos homotecia. Si pudiéramos hacer un giro de 180 grados de este proceso veríamos que se produciría una simetría a partir del punto central de la vela, entonces se denomina homotecia inversa. 

Es el proceso físico que se produce en los ojos de los seres vivos, y ha sido aplicado a los instrumentos ópticos como la cámara fotográfica analógica. 

Los elementos geométricos que define la homotecía son los siguientes: el centro de la radiación es propio (cercano), los planos original y transformados siempre son paralelos; y el eje o recta que une los planos es impropio, es decir, está en el infinito. A la simetría producida cuando se rotan los elementos ciento ochenta grados le llamamos simetría central.

La traslación y la simetría.

Para finalizar cuando los rayos del sol  atraviesan dos planos paralelos, las luces y sombras producidas son exactamente semejantes. Las formas proyectadas iguales en tamaño son dibujos naturales producidos por la luz del sol. Entonces entre la forma original y transformada se ha producido otro tipo de simetría que llamamos traslación.

En geometría llamamos al fenómeno traslación. Los planos original y transformado están paralelos, por lo tanto la recta imaginaria que los une está en el infinito (impropia) y la radiación que lo intercepta es de centro también  impropia.

Este ejemplo de simetría es fácil observarlo cuando el sol está muy bajo en el horizonte y proyecta formas en planos verticales paralelos.

Podemos descubrir abundantes ejemplos de estos fenómenos en la naturaleza. Es el estado en esencia de la simetría por proyección de luces y sombras mediante la traslación, afinidad y homotecia inversa.

A estas transformaciones les podemos aplicar además desplazamientos y giros de 60º, 90º, 120º y 180º, manifestándose el mundo de las simetrías.

Estos ejemplo están extraídos de la naturaleza pero si abstraemos la tercera dimensión y los dibujamos en dos dimensiones tendremos la base de las simetrías planas. La novedad es que es más fácil comprender los procesos si los observamos en su vertiente tridimensional para después entender que ocurre en el plano bidimensional.

Mediante la luz distinguimos una simetría etéreas, pero las podemos contemplar materializadas en el mundo inorgánico de los minerales, y en el mundo orgánico de vegetales y animales, incluido el ser humano.

La aprehensión de estos fenómenos naturales por los artistas han producido obras de pintura, escultura, arquitectura, diseño, ingeniería,… que han traslado la belleza de la naturaleza al entorno humano.

El paraiso de la simetría.

Al- Ándalus el territorio medieval de la península ibérica que fue el origen de Andalucía nos dejo una herencia artística sobre la simetría sin parangón. Durante el periodo nazarí de Granada los artesanos crearon la Alhambra y el Generalife. 

Los motivos ornamentales de los salones, baños, techumbres y bóvedas, junto con la reflexión de los estanques de agua y la propia ordenación de las formas arquitectónicas son un entorno donde la simetría nos envuelve. Los celebres mosaicos nazaríes son un legado matemático y artístico de primera magnitud. Los diecisiete grupos de simetría del plano parece que se han podido encontrar en la Alhambra. El plano se puede rellenar con una forma elemental que llamamos módulo y repetirlo conforme a unas determinadas reglas. Los matemáticos han encontrado sólo diecisiete reglas posibles, que se llaman grupos de simetría. Los mismos que decoran la Alhambra.

El concepto de módulo 
y su aplicación a la simetría

El módulo en matemática es un número que se usa en comparación con otros y se toma arbitrariamente como unidad. Por extensión en artes visuales, se entiende que es una dimensión que se toma como unidad de medida, norma, modelo o patrón La acepción más conocida del módulo es como parte de un todo que se utiliza como unidad en una construcción, para establecer las dimensiones y proporciones de un conjunto. Por ejemplo: la arquitectura utiliza un módulo como medida, para realizar todas las dimensiones del edificio. En la arquitectura clásica, el módulo era la medida del radio del fuste de la columna en su parte inferior. Son módulos célebres:

El Módulo vitruviano; el módulo de Policleto, que toma la cabeza humana; el módulo de Le Corbusier, que utiliza el cuerpo humano en sección áurea; el módulo Hele de Rafael Leoz, un módulo con forma de ele, formada por cuatro cubos.

Otra acepción en artes visuales es que el módulo es la forma elemental que se repite múltiples veces y llega a llenar el espacio bidimensional o tridimensional. Por ejemplo: el diseño modular utiliza una parte que se repite, es autónoma y se puede intercambiar para realizar un diseño.

La aplicación práctica del módulo más conocido son los mosaicos. Los polígonos regulares pueden formar un mosaico periódico si repetimos una forma poligonal como módulo. Sólo hay tres polígonos que con la misma loseta puedan cerrar un espacio plano sin dejar huecos son: el triángulo equilátero, el cuadrado, y el hexágono regular.

En la historia del arte han sido muchas las aplicaciones del módulo para realiza composiciones, como:

Las Teselas en los mosaicos romanos, hechos de pequeñas piezas en forma de cubo, de mármol, vidrio o pasta, para realizar los pavimentos. Los azulejos de la Alhambra de  Granada, ladrillos vidriados, pequeños de colores para revestir paredes de cocinas y baños. Baldosas, cerámicas y losas en los recubrimientos de Antonio Gaudí que  utiliza el hexágono regular en el suelo del Paseo de Gracia de Barcelona.

   

Módulo blanco y negro.

Las simetrías.

La simetría establece una concordancia de unas partes con otras y de las partes con el todo. Las formas se encuentran a distancias iguales de un eje que llamamos ejes de simetría. Para entenderla tenemos que conocer cuáles son los ejes de simetría principales del cuadrado y del triángulo equilátero.

Los ejes de simetría de un cuadrado y el triángulo

Si doblamos un cuadrado de papel obtendremos una concordancia del todo con la parte doblada, al realizar el doblez a partir de: la diagonal, la vertical y la horizontal.

Un módulo cuadrado está sometido a movimientos en el plano, si le asociamos fenómenos físicos como la traslación, la reflexión, el giro, el desplazamiento y la identidad, a partir de sus ejes de simetría, conseguiremos figuras simétricas.

La simetría suele tener dos acepciones, una es la de proporción y equilibrio; otra la relación entre las parte que integran un todo. Una módulo contenido en un plano puede cambiar de posición por diferentes movimientos. La primera posición del módulo se le llama la posición inicial u original, una vez aplicado el movimiento se le transforma en la imagen o posición final. Si tenemos en cuenta un módulo algunas de las posibilidades de simetrías aplicando movimientos en el plano serían las siguientes:

1. Traslación y simetría.

La simetría por traslación, desplaza el módulo en una dirección y a una distancia limitada. El módulo queda repetido con la misma orientación. La dirección de desplazamiento es la dirección de traslación.

Se puede percibir un equilibrio estable. Las cenefas planas serían un ejemplo de esta simetría, utilizadas en arte, diseño textil, grafismos o pinturas. Otras posibilidades son el urbanismo con la distribución de las manzanas en las ciudades, como el ensanche de Barcelona o Manhattan en Nueva York.

2. Reflexión y simetría axial.

La simetría por reflexión o simetría axial, la forma rota 180º con respecto a un eje de simetría. La figura se separa del plano y vuelve a el mediante una semirotación, alrededor de la recta fija de giro, la figura queda invertido y desplazado a la misma distancia con respecto al eje. 

Es la simetría propia de la hoja de los libros, y se encuentra en la mayoría de seres vivos. En artes visuales percibimos equilibrio en las composiciones por tener una referencia vertical y distancias y pesos iguales a derecha e izquierda. Una objeción que podríamos poner a este tipo de simetrías es la rigidez compositiva. Recurso compositivo utilizado en arquitectura, pintura, decoración mosaicos.

3. Giro y simetría central y radial.

La simetría por giro consiste en una figura contenido en un plano que rota a partir de un punto fijo determinado, llamado centro de giro, y el ángulo de giro que limita la rotación puede ser dextrógiro o levógiro.

La simetría central se produce cuando hay una rotación con un ángulo de giro llano, entonces recibe le nombre de simetría central o puntual. Se consigue una composición estable al estar las distancia uniformemente separadas con respecto al punto de giro. 

Decoración de mosaicos donde el módulo tiene una simetría central por giro de ciento ochenta grados.

La simetría radial se da cuando la rotación es incompleta, por ejemplo un ángulo de 72º, que al repetirse 360 º produce una simetría radial. Las figuras se reparten en radios a partir de una circunferencia. Es un tipo de simetría que produce una sensación dinámica. Por ejemplo la simetría de la estrella de mar, o en las flores. En artes visuales la podemos encontrar en los rosetones de las catedrales, en las cúpulas, en la pintura de El Bosco, Los siete pecados capitales, 1475-1480.  

Simetría por rotación de noventa grados de un módulo.

Simetría radial con giro de 45 grados.

Simetría con giro de noventa grados más una reflexión del módulo

Simetría por giro de ciento veinte grados.

Simetría radial con rotación

Simetría con rotación de 90 grados y simetría axial

4. Desplazamiento y simetría.

El desplazamiento aúna dos movimientos una traslación más una reflexión como en un espejo.

En la simetría por desplazamiento, la figura tiene al mismo tiempo un movimiento de traslación y de reflexión, que mantiene el eje horizontal y vertical presente, que perceptivamente también dan equilibrio.

Este tipo de simetría es el que se produce en un desplazamiento parecido al de los pies al caminar, lo que contribuye a dar una impresión de movimiento. Aplicaciones compositivas se encuentran en necrópolis egipcias, pavimentos romanos, cerámicas, mosaicos árabes y cenefas.

3. Identidad.

La simetría por identidad resulta de la superposición sobre sí mismo del módulo al producirse una rotación total de 360º sobre su propio eje.

El octagrama

Un cuadrado girado 45 º produce una figura simétrica estrellada con ocho vértices llamada octagrama.

Primero tenemos que tener en cuenta que los números en geometría son formas dibujadas y también tienen el valor de símbolos; por ejemplo: el cuadrado o número cuatro (4) por semejanza es un símbolo terrestre como los cuatro elementos (agua, aire, tierra, fuego) y los cuatro puntos cardinales (norte, sur, este, oeste). La circunferencia la figura que todo lo abarca, ha sido también por semejanza con el cielo y la bóveda celeste, el símbolo de la globalidad, lo celeste, la perfección, la divinidad. La figura intermedia que hace de lazo entre cuadrado y circunferencia es por lo tanto el ocho, el octógono, o octagrama, figura que es el equilibrio entre ambas. Simboliza la unión entre cielo y  tierra, lo profano y lo sagrado, al alma y el cuerpo, mundo material y mundo espiritual, hombres y ángeles.

Otras simbologías son los cuatro profetas: Abraham, Moises, Jesús y Mahoma; y los cuatro ángeles: Miguel, Rafael, Gabriel, Uriel. Es la estrella utilizada en el Corán para indicar el final de capítulo,  estrella Rub el hizb.

La estrella de ocho puntas o estrella de Salomón, es la “octava dies”, es decir el día octavo (7 + 1 = 8). Dios creó el mundo en seis días y al séptimo descansó, por lo tanto el octavo día es el tiempo Más Allá del tiempo, la eternidad, el empíreo u octavo cielo. Es un símbolo de perfección y regeneración ya que 7 + 1 = 8 se vuelve a la unidad (1) de la que se parte, empieza de nuevo la serie. Como los siete colores del arco iris que el octavo el blanco es la unidad y principio del que son origen todos, la luz blanca que los engloba.

Interacciones formales entre los módulos

Los módulos al estar unidos tienen una influencia recíproca. En el campo de la composición modular la interacción de dos módulos puede ser por: distanciamiento, toque, superposición, penetración, unión sustracción, intersección y coincidencia. Estas interacciones permiten apreciar aspectos como: cerca y lejos; delante y detrás; encima y debajo.

Módulos dados :   

Distanciamiento.

Existe un distanciamiento entre los módulos en el espacio.

Toque. Contacto.

La proximidad entre los dos módulos es tal que se tocan entre sí.

.Superposición.

Un módulo se coloca encima de otro.

Penetración.

Se introduce un módulo en el interior de otro.

Unión.

Los módulos se juntas para ser una unidad.

Sustracción.

Los dos módulos interactúan de tal modo que se quita una diferencia uno del otro.

Intersección.

Hay en encuentro entre los módulos cortándose entre ellos.

Coincidencia.

Los módulos se ajustan uno con otro concurriendo en la misma situación espacial.

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